Matematika & Ilmu Alamiah Dasar: Relasi Fungsi Komposisi dan Invers

Fungsi Komposisi

Fungsi Aljabar

Apabila f dan g merupakan fungsi dari x, maka operasi aljabar yang dapat dilakukan adalah sebagai berikut:

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$
$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$
$(f \times g)(x)=f(x) \times g(x)$
$(\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$
$f^n(x)=[f(x)]^n$

contoh:
Diketahui $f(x)=3x-1 ; g(x)=3-2x$ maka:

$\begin{array}{rcl} (f+g)(x)&=&f(x)+g(x) \\ &=& (3x - 1) + (3 - 2x) \\ &=& x + 2 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} (f-g)(x)&=&f(x)-g(x) \\ &=& (3x-1)-(3-2x) \\ &=& 5x -4 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} (f \times g)(x)&=&f(x) \times g(x) \\ &=& (3x-1)(3-2x) \\ &=& -6x^2+8x-3 \end{array}$

Fungsi Komposisi

Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke B $(f:A \rightarrow B)$ dan g adalah fungsi dari B ke C $(f:B \rightarrow C)$ , maka suatu fungsi h dari A ke C $(h: A \rightarrow C)$ disebut fungsi komposisi. Fungsi komposisi tersebut dinyatakan dengan $h = g \circ f$ (dibaca: g bundaran f)

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$

$(g \circ f)(x) = g(f(x))$

Sifat-sifat Komposisi Fungsi

1. Pada umumnya tidak komutatif

$(g \circ f)(x) \neq (f \circ g)(x)$

2. Operasi komposisi pada fungsi bersifat asosiatif

$(f \circ (g \circ h))(x) = ((f \circ g) \circ h)(x)$

3. Terdapat fungsi identitas : $I (x) = x$

$(f \circ I)(x) = (I \circ f)(x) = f(x)$

Contoh soal fungsi Komposisi:

Diketahui : fungsi $f(x)=x-1 ; g(x) = x+2 ; h(x) = x^2-1$ maka

$\begin{array}{rcl}(f \circ g)(x) &=& f(g(x)) \\ &=& f(x+2) \\ &=& (x+2) -1 \\ (f \circ g)(x) &=& x+1\end{array}$

$\begin{array}{rcl}(g \circ f)(x) &=& g (f(x)) \\ &=& g(x-1) \\ &=& (x - 1) + 2 \\ (g \circ f)(x) &=& x-1\end{array}$

$\begin{array}{rcl}(g \circ h \circ f)(x) &=& g(h(f(x))) \\ &=& g(h(x-1)) \\ &=& g((x-1)^2 - 1) \\ &=& g(x^2 - 2x) \\ &=& (x^2 -2x) + 2 \\ (g \circ h \circ f)(x) &=& x^2 - 2x + 2 \end{array}$

$\begin{array}{rcl}(h \circ f \circ g)(x) &=& h(f(g(x)) \\ &=& h(f(x+2)) \\ &=& h((x+2)-1) \\ &=& h(x+1) \\ &=& (x+1)^2 - 1 \\ &=& (x^2 + 2x + 1)-1 \\ (h \circ f \circ g)(x) &=& x^2 + 2x\end{array}$

Fungsi Invers

Apabila f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka invers fungsi f adalah suatu relasi dari himpunan B ke himpunan A. Jadi, invers suatu fungsi tidak selalu merupakan fungsi. Jika invers suatu fungsi merupakan fungsi, maka invers tersebut dinamakan fungsi invers dari fungsi semula.

Jika fungsi $f: A \rightarrow B$ dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan $f= \{ (x,y) | x \in A , y \in B\}$ maka invers fungsi f adalah $f^{-1}: B \rightarrow A$ dan dinyatakan sebagai $f^{-1}= \{ (x,y) | y \in B , x \in A\}$

Fungsi f mempunyai fungsi invers $f^{-1}$ jika dan hanya jika f merupakan fungsi (korespondensi satu-satu)
Langkah-langkah untuk menentukan rumus fungsi invers apabila fungsi f(x) telah diketahui: