Matematika & Ilmu Alamiah Dasar: Juni 2014

Jumat, 27 Juni 2014

Menyatakan Nilai Suatu Kebenaran Dengan Tabel Kebenaran

Contoh soal :

“Jika dia pemilik apartemen, dia yang membayar pajak bumi dan bangunan” dan pernyataan “dia pemilik rumah dan dia tidak membayar pajak bumi dan bangunan” ekuivalen?

p : Dia pemilik rumah

q : Dia membayar pajak bumi dan bangunan

p -> q : jika dia pemilik rumah, dia membayar pajak bumi dan bangunan.

p ^ ~p : Dia pemilik rumah dan dia tidak membayar pajak bumi dan bangunan.

Tabel yang akan digunakan seperti dibawah ini.

Dan penyelesaiannya adalah :

Pernyataan (Kalimat Terbuka/Tertutup) pada Matematika

Kalimat Terbuka

Kalimat Terbuka adalah suatu pernyataan yang memiliki nilai Benar/Salah yang ditentukan oleh variable. Nilai variable lebih dari satu.

Contoh :

1. x + 2 = 9, x ϵ R
Kalimat di atas bernilai benar jika x bernilai 6. Jika nilai x bukan 6, maka kalimat bernilai Salah

2. 4 + 2x = 6, x ϵ R
Kalimat di atas bernilai benar jika x bernilai 1. Jika nilai x bukan 1, maka kalimat bernilai Salah

Kalimat Tertutup/ Pernyataan atau Preposisi

Kalimat Tertutup adalah suatu kalimat yang hanya mempunyai nilai Benar saja atau nilai Salah saja.

Contoh :

1. A: Kerbau makan rumput
     Pernyataan A benilai Benar.
2. B : Hukum Phytagoras berlaku untuk semua segitiga.
     Pernyataan B bernilai Salah.
3. C : Hari ini hujan.
     C bukan sebuah pernyataan.

Nilai kebenaran suatu pernyataan dapat ditunjukkan dengan menggunakan :

1. Data Empiris

Data Empiris adalah data yang menyatakan nilai Benar/Salah suatu pernyataan berdasarkan fakta.

Contoh :
•    Indonesia dipimpin oleh seorang presiden. Pernyataan Benar
•    Kupulan gedung tinggi. Pernyataan Salah.

2.    Data tidak Empiris

Data tidak Empiris adalah data yang menyatakan nilai Benar/Salah suatu pernyataan berdasarkan hasil perhitungan atau bukti dalam matematika.

Contoh :
• Bilangan 8 habis dibagi 3. Pernyataan Salah
• 4x + 3 = -1. Nilai x = - 1. Pernyataan Benar.

Jumat, 20 Juni 2014

Domain, Kodomain, dan Range Fungsi

Pada diagram panah di samping himpunan A disebut domain (daerah asal) dan himpunan B disebut kodomain (daerah kawan) sedangkan range adalah daerah hasil.

Dari gambar tersebut juga diperoleh:

2 Є B merupakan peta dari 1 Є A

3 Є B merupakan peta dari 2 Є A

4 Є B merupakan peta dari 3 Є A

Himpunan peta tersebut dinamakan range (daerah hasil). Jadi, dari diagram panah pada gambar di samping diperoleh:

Domainnya (Df) adalah A = {1, 2, 3}

Kodomainnya adalah B = {1, 2, 3, 4}

Rangenya (Rf) adalah {2, 3, 4}

Contoh Soal lainnya:

Perhatikan diagram panah berikut.

Diagram panah tersebut menunjukkan fungsi himpunan P ke himpunan Q dengan relasi "dua kali dari". Tentukan domain, kodomain, dan range fungsinya.

Jawab :
• Domainnya (Df) adalah P = {4, 6, 8, 10}

• Kodomainnya adalah Q = {1, 2, 3, 4, 5}

• Rangenya (Rf) adalah {2, 3, 4, 5

Kamis, 19 Juni 2014

Relasi Fungsi Komposisi dan Invers

Fungsi Komposisi

Fungsi Aljabar

Apabila f dan g merupakan fungsi dari x, maka operasi aljabar yang dapat dilakukan adalah sebagai berikut:

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$
$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$
$(f \times g)(x)=f(x) \times g(x)$
$(\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$
$f^n(x)=[f(x)]^n$

contoh:
Diketahui $f(x)=3x-1 ; g(x)=3-2x$ maka:

$\begin{array}{rcl} (f+g)(x)&=&f(x)+g(x) \\ &=& (3x - 1) + (3 - 2x) \\ &=& x + 2 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} (f-g)(x)&=&f(x)-g(x) \\ &=& (3x-1)-(3-2x) \\ &=& 5x -4 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} (f \times g)(x)&=&f(x) \times g(x) \\ &=& (3x-1)(3-2x) \\ &=& -6x^2+8x-3 \end{array}$

Fungsi Komposisi

Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke B $(f:A \rightarrow B)$ dan g adalah fungsi dari B ke C $(f:B \rightarrow C)$ , maka suatu fungsi h dari A ke C $(h: A \rightarrow C)$ disebut fungsi komposisi. Fungsi komposisi tersebut dinyatakan dengan $h = g \circ f$ (dibaca: g bundaran f)

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$

$(g \circ f)(x) = g(f(x))$

Sifat-sifat Komposisi Fungsi

1. Pada umumnya tidak komutatif

$(g \circ f)(x) \neq (f \circ g)(x)$

2. Operasi komposisi pada fungsi bersifat asosiatif

$(f \circ (g \circ h))(x) = ((f \circ g) \circ h)(x)$

3. Terdapat fungsi identitas : $I (x) = x$

$(f \circ I)(x) = (I \circ f)(x) = f(x)$

Contoh soal fungsi Komposisi:

Diketahui : fungsi $f(x)=x-1 ; g(x) = x+2 ; h(x) = x^2-1$ maka

$\begin{array}{rcl}(f \circ g)(x) &=& f(g(x)) \\ &=& f(x+2) \\ &=& (x+2) -1 \\ (f \circ g)(x) &=& x+1\end{array}$

$\begin{array}{rcl}(g \circ f)(x) &=& g (f(x)) \\ &=& g(x-1) \\ &=& (x - 1) + 2 \\ (g \circ f)(x) &=& x-1\end{array}$

$\begin{array}{rcl}(g \circ h \circ f)(x) &=& g(h(f(x))) \\ &=& g(h(x-1)) \\ &=& g((x-1)^2 - 1) \\ &=& g(x^2 - 2x) \\ &=& (x^2 -2x) + 2 \\ (g \circ h \circ f)(x) &=& x^2 - 2x + 2 \end{array}$

$\begin{array}{rcl}(h \circ f \circ g)(x) &=& h(f(g(x)) \\ &=& h(f(x+2)) \\ &=& h((x+2)-1) \\ &=& h(x+1) \\ &=& (x+1)^2 - 1 \\ &=& (x^2 + 2x + 1)-1 \\ (h \circ f \circ g)(x) &=& x^2 + 2x\end{array}$

Fungsi Invers

Apabila f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka invers fungsi f adalah suatu relasi dari himpunan B ke himpunan A. Jadi, invers suatu fungsi tidak selalu merupakan fungsi. Jika invers suatu fungsi merupakan fungsi, maka invers tersebut dinamakan fungsi invers dari fungsi semula.

Jika fungsi $f: A \rightarrow B$ dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan $f= \{ (x,y) | x \in A , y \in B\}$ maka invers fungsi f adalah $f^{-1}: B \rightarrow A$ dan dinyatakan sebagai $f^{-1}= \{ (x,y) | y \in B , x \in A\}$

Fungsi f mempunyai fungsi invers $f^{-1}$ jika dan hanya jika f merupakan fungsi (korespondensi satu-satu)
Langkah-langkah untuk menentukan rumus fungsi invers apabila fungsi f(x) telah diketahui:

Mengubah persamaan y = f(x) dalam bentuk x sebagai fungsi y
Bentuk x sebagai fungsi y tersebut dinamakan $f^{-1}(y)$
Mengganti y pada $f^{-1}(y)$ dengan x, sehingga diperoleh $f^{-1}(x)$

contoh:
Tentukan fungsi invers dari persamaan berikut:
$f(x) = 3-2$ dan $f(x) = \frac{3x+4}{2x-1}$

Jawab:

Jumat, 13 Juni 2014

Soal-Soal Mengenai Diagram Venn Beserta Pembahasannya

Hasil survey terhadap 35 orang penduduk di suatu desa, diperoleh hasil sebagai berikut: 18 orang menyukai teh, 17 orang menyuka kopi, 14 orang menyukai susu, 8 orang menyukai minum teh dan kopi, 7 orang menyukai teh dan susu, 5 orang menyukai kopi dan susu, 3 orang menyukai ketiga-tiganya. Buatlah diagram Venn dari keterangan di atas dan tentukan banyaknya warga menyukai teh, menyukai susu, menyukai kopi, dan tidak menyukai ketiga-tiganya!

Jawab:

Diagram Venn dari keterangan di atas seperti gambar berikut ini.

Dari diagram venn di atas maka banyaknya warga yang gemar minum teh saja ada 6 orang, gemar minum susu saja ada 5 orang, gemar minum kopi saja ada 7 orang dan tidak gemar ketiga-tiganya ada 3 orang.

Dalam penelitian yang dilakukan pada sekelompok orang, diperoleh data 68 orang sarapan dengan nasi, 50 orang sarapan dengan roti, dan 8 orang sarapan nasi dan roti, sedangkan 35 orang sarapannya tidak dengan nasi ataupun roti. Hitung banyaknya orang dalam kelompok tersebut!

Jawab:

Jika digambarkan dengan diagram ven maka gambarnya seperti gambar berikut ini.

Banyak orang yang ada di dalam kelompok tersebut adalah 60 + 8 + 42 + 35 = 145 orang. Jadi, banyaknya orang dalam kelompok tersebut ada 145 orang.